环面上本征函数的渐近节点长度与对数可积性

我们研究平坦 $2d$ 环面 $\mathbb{T}^2$ 上拉普拉斯本征函数的节点集。在对其傅里叶系数作若干增长假设的条件下，我们证明了此类本征函数节点长度的渐近律。此外，我们表明其节点集在 $\mathbb{T}^2$ 上渐近等分布。证明基于 Bourgain 的去随机化技术，而主要的新要素（可能具有独立意义）是基于 Nazarov \cite{N93,Nun} 的工作得到的 $\mathbb{T}^2$ 上拉普拉斯本征函数倍增指数任意大幂的可积性。