环面本征函数在超曲面上的等分布

我们证明了环面本征函数的一个新的量子方差估计。作为应用，我们表明：给定任意环面本征函数的标准正交基以及任意具有非零主曲率的光滑嵌入超曲面，存在密度为 1 的本征函数子列沿该超曲面等分布。这是平坦环面情形下的量子遍历限制定理的类似物，特别地，其验证了 Bourgain-Rudnick 关于任意维中密度为 1 的本征函数子列的 $L^2$-限制估计猜想。利用我们的量子方差估计，我们还得到了本征函数在支撑集傅里叶维数大于 $d-2$ 的测度上的等分布。最后，我们描述了维度 $2$ 下若干特定的定量结果。