环面薛定谔算子本征函数的定量等分布

我们证明了矩形环面 $\mathbb{T}^2$ 上薛定谔算子 $-\Delta+V$（$V\in L^2(\mathbb{T}^2)$）本征函数在位置空间中的量子遍历定理，其收敛速率为关于特征值的代数速率。我们定理的一个关键应用是：对于势函数建模含 $N$ 个障碍物的无序系统的薛定谔算子，给出了本征函数的定量等分布定理。我们在障碍物建模势函数满足弱重叠假设的条件下，证明了该等分布定理在 $N\to\infty$ 极限下的有效性，并指出当重新尺度化至大环面（使得密度在 $N\to\infty$ 时保持有限）时，这对应于尺寸衰减机制，因为势函数前的耦合参数将随 $N\to\infty$ 而衰减。我们将结果应用于通过缩放回固定环面 $\mathbb{T}^2$ 来建模大环面 $\mathbb{T}^2_L$ 上无序系统的薛定谔算子。对于随机薛定谔算子（如随机位移模型），我们推导出了在某些依赖于耦合参数、势函数密度与特征值的长度尺度上的几乎必然等分布定理。特别地，若这些参数收敛于有限非零值，我们可确定等分布在哪一长度尺度（作为这些参数的函数）失效。就此意义而言，我们给出了安德森局域化长度作为能量、耦合参数与散射体密度函数的下界。