量子遍历性与半经典伪微分算子分析

本本科论文致力于发展理解 Schnirelman (1974)、Zelditch (1987) 和 Colin de Verdi\`ere (1985) 的量子遍历性定理以及 Rudnick 和 Sarnak (1994) 的量子唯一遍历性猜想所需的微分几何和半经典分析工具。前者指出，在任何具有负曲率或遍历测地流的黎曼流形上，Laplace-Beltrami 算子的本征函数在相空间中均匀分布，密度为 1。在相同假设下，后者指出本征函数在相空间中哈密顿量的纤维上诱导出一系列 Wigner 概率测度，且这些测度在弱-*拓扑下收敛于均匀 Liouville 测度。如果该猜想成立，则意味着此类本征函数在高本征值极限下均匀分布，不存在异常的“疤痕”模式。从物理角度看，这意味着即使在半经典极限下，混沌哈密顿系统的最精细细节也永远无法反映其量子力学行为。本论文的主要贡献是在初等分析和几何框架背景下探讨量子遍历性和量子唯一遍历性问题。除了展示和总结众多重要证明（如 Colin de Verdi\`ere 对量子遍历性定理的证明）外，我们还对某些台球流进行了图形模拟，并对量子混沌研究中的几个主题进行了阐述性讨论。