环面 Laplace 特征函数的普朗克尺度质量均分

我们研究二维平坦环面上 Laplace 算子特征函数 $L^2$ 质量的小尺度分布。给定一组特征函数的标准正交基，Lester 和 Rudnick 证明了存在一个密度为 1 的子序列，其 $L^2$ 质量大致在普朗克尺度上均分。我们给出了其结果的更精确版本，证明均分可保持到普朗克尺度上方 log 的小次幂处，同时证明 $L^2$ 质量在普朗克尺度上方略小的 log 次幂处无法均分。本文依赖于一系列关于圆上格点接近性的结果，其中很大一部分基于 Javier Cilleruelo 的基础性工作。