球面上格点、Heegner点与闭测地线的优化小尺度等分布

我们对位于球面表面、经随机旋转的薄环域中格点数量的方差进行了渐近估计。这部分地解决了Bourgain、Rudnick与Sarnak的一个猜想。我们还获得了对于所有不太小的球与环域均成立的估计。我们的结果有多个推论：涉及Linnik关于两平方和与“微平方”的猜想、Bourgain与Rudnick关于球面表面小球的格点数的猜想、球面的覆盖半径，以及球面表面几乎所有薄区域中格点的分布。最后，我们证明对于密度为$1$的无平方因子整数子列，当球的体积为$(\log n)^{-\delta}$（其中$0 < \delta < \tfrac {1}{16}$）时，方差呈现出不同的渐近行为。我们还获得了Heegner点与闭测地线的类似结果。有趣的是，相较于Heegner点或球面格点，我们能够为闭测地线证明一些稍强的结果。支撑我们证明的一个关键观察是环域与球的权函数在行为上的差异。