关于高斯圆问题的若干变体

高斯圆问题涉及根据圆的半径求圆内格点数量的渐近性。点的数量非常接近圆面积的启发式估计惊人地准确。在这项工作中，我们描述了两个表现出类似特征的高斯圆问题变体。第一个变体涉及 $\text{GL}(2)$ 尖形式的傅里叶系数之和。这些和的行为与高斯圆问题中的误差项非常相似。我们引入了新的狄利克雷级数，其系数为尖形式傅里叶系数部分和的平方。我们研究了这些狄利克雷级数的亚纯性质，并利用这些级数对这些傅里叶系数和的大小的均方给出新的视角。第二个变体涉及单叶双曲面上具有有界大小的格点数量。这个问题非常类似于计算各维度球体内的格点数量，但附加了位于双曲面上的约束。事实证明，该问题等价于估计形如 $\sum r_d(n^2 + h)$ 的和，其中 $r_d(m)$ 是 $m$ 表示为 $d$ 个平方和的方式数。我们证明了这些和的二阶矩的改进平滑估计与精确估计，从而得到格点数量的改进估计。