广义高斯圆问题中的二阶矩

广义高斯圆问题涉及大球的格点偏差。我们研究对应于 $P_k(n)^2$ 的狄利克雷级数，其中 $P_k(n)$ 是半径为 $\sqrt{n}$ 的 $k$ 维球体积与该球内所含整数格点个数之间的偏差。我们证明了对于平滑和（包括 $\sum P_k(n)^2 e^{-n/X}$ 与拉普拉斯变换 $\int_0^\infty P_k(t)^2 e^{-t/X}dt$）在维数 $k \geq 3$ 时具有改进的幂次节省误差项的渐近式。我们还得到了尖锐和 $\sum_{n \leq X} P_k(n)^2$ 的主项与幂次节省误差项，以及对于尖锐积分 $\int_0^X P_3(t)^2 dt$ 的类似结果。这包括给出了三维高斯圆问题均方中首个幂次节省误差项。