高斯圆问题中二阶矩的拉普拉斯变换

高斯圆问题关注半径为 $\sqrt{n}$ 的圆面积与其包含的格点数量之间的差值 $P_2(n)$。在本文中，我们研究了系数为 $P_2(n)^2$ 的狄利克雷级数，并证明该级数具有到 $\mathbb{C}$ 的亚纯延拓。利用该级数，我们证明了 $P_2(n)^2$ 的拉普拉斯变换满足 $\int_0^\infty P_2(t)^2 e^{-t/X} \, dt = C X^{3/2} -X + O(X^{1/2+\epsilon})$，这对 Ivic [Ivic1996] 之前的结果给出了幂次节省的改进。类似地，我们研究了与相关性 $r_2(n+h)r_2(n)$ 相关的狄利克雷级数的亚纯延拓，其中 $h$ 固定，$r_2(n)$ 表示 $n$ 表示为两个平方数之和的方法数。我们利用该狄利克雷级数证明了 $\sum_{n \geq 1} r_2(n+h)r_2(n) e^{-n/X}$ 的渐近性，并对 $\sum_{n \leq X} r_2(n+h)r_2(n)$ 渐近式中的首项系数提供了额外的评估。