一类平均曲率型偏微分方程的渐近狄利克雷问题

我们研究如下给定平均曲率偏微分方程的狄利克雷问题 $$\begin{cases} -\operatorname{div}\dfrac{\nabla v}{\sqrt{1+|\nabla v|^{2}}}=f(x,v) \text{ in }\Omega\\ v=\varphi \text{ on }\partial\Omega. \end{cases}$$ 其中 $\Omega$ 是完备黎曼流形 $M$ 中的区域，$f:\Omega\times\mathbb{R\rightarrow R}$ 是给定函数，$\varphi$ 是 $\partial\Omega$ 上给定的连续函数。这分三部分完成。在第一部分中，我们以最一般的形式考虑此问题，在 $\Omega$ 为有界 $C^{2,\alpha}$ 区域、对 $f$ 有适当条件且对 $M$ 除完备性外无限制时证明解的存在性。在第二部分中，我们研究当 $M$ 为双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 且 $\Omega$ 为整个空间时的渐近狄利克雷问题。此部分本质地利用 $\mathbb{H}^n$ 的几何结构来构造类似于极小曲面偏微分方程的 Scherk 型解的特殊障碍函数。在第三部分中，利用这些 Scherk 型图证明该狄利克雷问题的整体解不存在孤立的渐近边界奇点。