漂移项属于 $L^2$ 的散度型椭圆方程

我们考虑有界 Lipschitz 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 中二阶线性散度型椭圆方程的 Dirichlet 问题 \begin{equation*} -\mathrm{div }(A\nabla u)+\mathbf{b} \cdot \nabla u+\lambda u=f+\mathrm{div } \mathbf{F}\quad \text{in } \Omega\quad\text{and}\quad u=0\quad \text{on } \partial\Omega, \end{equation*} 其中 $A:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^{2^2}$、$\mathbf{b} : \Omega\rightarrow \mathbb{R}^2$ 与 $\lambda \geq 0$ 给定。若 $2<p<\infty$ 且 $A$ 在小球中具有小平均振荡，$\Omega$ 具有小 Lipschitz 常数，并且 $\mathrm{div } A,\,\mathbf{b} \in L^{2}(\Omega;\mathbb{R}^2)$，则我们证明了该问题在 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中弱解的存在性与唯一性。对偶问题亦有类似结果。