关于齐次型椭圆方程具有索伯尔系数的解的二阶正则性

我们给出关于齐次型椭圆方程 $\Div(\mathbf{A}\nabla u) = f$ 在 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 中具有索伯尔系数的弱解的一阶导数的 $L^p$ 估计。特别地，对于 $f\in L^2(\Omega) \bigcap L^s(\Omega)$ $$\|\Delta u\|_{2} \leq \begin{cases} c_1\|f\|_2 + c_2 \|\nabla \mathbf{A}\|_q^2\|f\|_s, & \text{if } 1 < s < d/2, \frac{1}{2}=\frac{2}{q}+ \frac{1}{s} - \frac{2}{d}\ c_1\|f\|_2 + c_2 \|\nabla \mathbf{A}\|_4^2\|f\|_s, & \text{if } s > d/2 \end{cases}.$$