关于广泛奇异或退化椭圆方程解的二阶正则性

我们考虑如下类型 PDE 的局部弱解：$$-\,\mathrm{div}\left((\vert Du\vert-\lambda)_{+}^{p-1}\frac{Du}{\vert Du\vert}\right)=f\,\,\,\,\,\,\,\text{in}\,\,\Omega,$$ 其中 $1<p<\infty$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$（$n\geq2$）的开子集，$\lambda$ 是正常数，$(\,\cdot\,)_{+}$ 表示正部。此类方程在 $p\ge 2$ 时广泛退化，在 $1<p<2$ 时广泛奇异。我们证明了局部弱解的梯度 $Du$ 的某一非线性函数的高阶可微性结果，假设当 $p>2$ 时 $f$ 属于局部 Besov 空间 $B^{(p-2)/p}_{p',1,loc}(\Omega)$，当 $1<p\leq2$ 时 $f\in L_{loc}^{{\frac{np}{n(p-1)+2-p}}}(\Omega)$。对数据 $f$ 的条件本质上是精确的。作为推论，我们在对 $f$ 的相同极小假设下得到了 $Du$ 的局部高阶可积性。对于 $\lambda=0$，我们的结果退化为 [12,28] 中所包含的结果。