强退化抛物方程解的分数阶 Sobolev 正则性

我们继续 [2] 中开始的关于强退化抛物方程弱解正则性的研究 $$u_{t}-\mathrm{div}\left[(\vert Du\vert-1)_{+}^{p-1}\frac{Du}{\vert Du\vert}\right]=f\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{in}\,\,\Omega_{T}=\Omega\times(0,T),$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$（$n\geq2$）中的有界域，$p\geq2$，且 $\left(\,\cdot\,\right)_{+}$ 表示正部。此处，我们通过假设 $f\in L_{loc}^{p'}\left(0,T;B_{p',\infty,loc}^{\alpha}\left(\Omega\right)\right)$（其中 $\alpha\in(0,1)$ 且 $p'=p/(p-1)$）来弱化对右端项的假设。这使我们获得了关于解的空间梯度 $Du$ 的函数的更高分数阶可微性结果。此外，我们建立了 $Du$ 关于空间变量的更高可和性。上述方程的主要新颖之处在于其结构函数仅以原点为中心的单位球外部满足标准椭圆性和增长条件。我们想指出，本文的主要结果一方面可视为 [1] 中一个椭圆结果的抛物对应，另一方面可视为 [2] 中某些结果的分数阶版本。