广退化抛物方程的梯度正则性

本文关注弱解 $u:\Omega_T\to\mathbb{R}$ 对如下形式的抛物方程的正则性:\n \partial_t u - \mathrm{div} \nabla \mathcal{F}(x,t,Du) = f\qquad\mbox{在 $\Omega_T$} \,]，其中 $\mathcal{F}$ 仅在 $Du$ 落在边界为凸集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 且满足 $0\in \mathrm{Int}{E}$ 之外的值上 ellipticity。这里 $\Omega_T := \Omega\times(0,T)\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 表示取自有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上有限时间 $T>0$ 的空间时间柱面。假设 $\mathcal{F} : \Omega_T\times\mathbb{R}^n \to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 满足: 当 $\xi$ 落在 $E$ 之外时，映射 $\xi\mapsto \mathcal{F}(x,t,\xi)$ 具有良好性质，而当 $\xi$ 落在该集合内时则完全为零。此外，假设数据 $f$ 属于 $L^{n+2+\sigma}(\Omega_T)$，其中 $\sigma > 0$。我们的主要结果表明\n\[ \mathcal{K}(Du)\in C^0(\Omega_T) \n对任何在 $E$ 上为零的连续函数 $\mathcal{K}\in C^0(\mathbb{R}^n)$ 成立。本文旨在将椭圆情形下的 $C^1$ 正则性结果推广到抛物情形。