抛物型算子的正则性问题及半时间导数的作用

在本文中，我们给出关于二阶抛物方程 $\partial_t u - \mbox{div} (A \nabla u)+B\cdot \nabla u=0$ 在柱形域 $\Omega=\mathcal O\times\mathbb R$ 上解的正则性的如下结果，其中 $\mathcal O\subset\mathbb R^n$ 是一致域（满足内部拔塞和Harnack链条件）且其边界是 $n-1$ 维Ahlfors正则的。设 $u$ 是该PDE在 $\Omega$ 中的解，且其空间方向梯度的非切向极大函数 $\tilde{N}(\nabla u)$ 对某个 $p>1$ 属于 $L^p(\partial\Omega)$。进一步，假设对 $u|_{\partial\Omega}=f$ 有 $D^{1/2}_tf\in L^p(\partial\Omega)$。则 $\tilde{N}(D^{1/2}_t u)$ 和 $\tilde{N}(D^{1/2}_tH_t u)$ 也都属于 $L^p(\partial\Omega)$，其中 $D^{1/2}_t$ 和 $H_t$ 分别是时间变量上的半导数和Hilbert变换。我们期望这一结果将推动 $L^p$ 抛物正则性问题的可解性研究的新发展，因为得益于它，现在可以在一大类时变域上表述抛物正则性问题。