半空间内具有边界退化的抛物型算子的正则性理论

我们研究由奇异椭圆算子\begin{align*} \mathcal L=y^{\alpha_1}\mbox{Tr }\left(QD^2_xu\right)+2y^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}q\cdot \nabla_xD_y+\gamma y^{\alpha_2} D_{yy}+Cy^{\alpha_2-1}D_y \end{align*}在Neumann边界条件下于半空间$\mathbb{R}^{N+1}_+=\{(x,y): x \in \mathbb{R}^N, y>0\}$所控制的椭圆与抛物问题。我们证明了相关问题的椭圆与抛物$L^p$估计及可解性。在半群理论的语言下，我们证明$\mathcal L$生成解析半群，将其定义域刻画为加权Sobolev空间，并证明其具有极大正则性。