高阶退化双曲方程低正则性解的存在性与奇性结构

本文是我们先前工作 [21] 的延续，在该工作中我们确立了：对于二阶退化双曲方程 (\p_t^2-t^m\Delta_x)u=f(t,x,u)，当初值 (u,\p_t u)(0,x) 属于合适的法向类时，存在局部有界、分段光滑的解 u(t,x)。在本文中，我们将研究不连续甚至无界函数范畴内高阶退化双曲方程的低正则性解。具体而言，我们关注高阶退化双曲方程 \p_t(\p_t^2-t^m\Delta_x)u=f(t,x,u) 和 (\p_t^2-t^{m_1}\Delta_x)(\p_t^2-t^{m_2}\Delta_x)v=f(t,x,v) 在 \R_+\times\R^n 中具有不连续初值 \p_t^iu(0,x)=\phi_i(x) (0\le i\le 2) 和 \p_t^jv(0,x)=\psi_j(x) (0\le j\le 3) 的低正则性解的局部存在性与奇性结构；其中 m, m_1, m_2\in\N, m_1\neq m_2, x\in\R^n, n\ge 2，且 f 在其变量中是 C^\infty 光滑的。当 \phi_i 和 \psi_j 在 t=0 时关于超平面 \{x_1=0\} 分段光滑时，我们证明了存在局部解 u(t,x), v(t,x)\in L^{\infty}((0,T)\times\R^n)，它们分别在 [0,T]\times\R^n 中除去 \G_0\cup \G_m^\pm 和 \G_{m_1}^\pm\cup\G_{m_2}^\pm 外是 C^\infty 的；这里 \G_0=\{(t,x): t\ge 0, x_1=0\}，而 \Gamma_k^\pm = \{(t,x): t\ge 0, x_1=\pm \f{2t^{(k+2)/2}}{k+2}\} 是形成尖点的两个特征曲面。当 \phi_i 和 \psi_j 属于 C_0^\infty(\R^n\setminus\{0\}) 且在 x=0 附近是零次齐次时，则存在局部解 u(t,x), v(t,x)\in L_{loc}^\infty((0,T]\times\R^n)，它们分别在 [0,T]\times\R^n 中除去 \G_m\cup l_0 和 \G_{m_1}\cup\G_{m_2} 外是 C^\infty 的；这里 \Gamma_k=\{(t,x): t\ge 0, |x|^2=\f{4t^{k+2}}{(k+2)^2}\} (k=m, m_1, m_2) 是一个尖锥面，而 l_0=\{(t,x): t\ge 0, |x|=0\} 是一条射线。