广泛退化各向异性扩散：局部有界性与半连续性

我们研究如下形式发展方程的局部弱解的正则性：$$\partial_{t}u\,=\,\sum_{i=1}^{n}\,\partial_{x_{i}}\left[a_{i}(x,t)\,(\vert\partial_{x_{i}}u\vert-\delta_{i})_{+}^{p_{i}-1}\,\frac{\partial_{x_{i}}u}{\vert\partial_{x_{i}}u\vert}\right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{in}\,\,\,\Omega_{T}\,=\,\Omega\times(0,T)\,,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$（$n\geq2$）中的有界域，系数 $a_{i}$ 可测且有界，$p_{i}>1$ 和 $\delta_{i}\geq0$ 是固定参数。在对指数 $p_{i}$ 的适当假设下，我们首先证明弱解的局部有界性源于其属于一个适当的非齐次抛物型 De Giorgi 类。然后，我们为局部弱子（超）解建立了半连续代表元的存在性。我们的分析将适用于退化程度较轻的算子的类似结果进行了推广，并将 [7] 中获得的局部有界性结果推广到完全各向异性、广泛退化的抛物型偏微分方程，其系数非光滑且额外依赖于时空变量 $(x,t)$，其增长由一族指数 $p_{i}$ 而非单一指数控制。