强退化各向异性抛物方程弱解的局部有界性

我们证明了局部弱解在抛物方程中的局部有界性：\n\n$$\partial_{t}u\,=\,\sum_{i=1}^{n}\partial_{x_{i}}\left[(\vert u_{x_{i}}\vert-\delta_{i})\_{+}^{p-1}\frac{u_{x_{i}}}{\vert u_{x_{i}}\vert}\right]\ \ \ \ \ \mathrm{in}\,\, \Omega_{T}=\Omega\times(0,T]\,,$$\n\n其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有界域，$n\geq2$，$p\geq2$，$\delta_{1},\ldots,\delta_{n}$ 为非负数，$\left(\,\cdot\,\right)_{+}$ 表示正部份。本文的主要创新点在于，该方程将各向异性结构与强退化行为相结合。因此，本文的核心结果将经典的有界性定理（最初由抛物 $p$ 型Laplacian 证得）推广到广义各向异性情形。作为副产品，我们也获得了该方程各向同性情形的局部弱解的局部有界性。