拟线性抛物方程弱解的一致有界性

在本文中，我们研究形式为 $$u_t - \text{div} \mathcal{A}(x,t,\nabla u) = 0$$ 的拟线性抛物方程弱解的有界性，其中非线性项 $\mathcal{A}(x,t,\nabla u)$ 以被广泛研究的 $p$-Laplace 算子为模型。有界性问题在过去几十年中受到大量关注，现有文献表明在 $\frac{2N}{N+2}<p<2$、$p=2$ 或 $2<p$ 中的弱解均有界。证明基本上分为三种情形，主要是因为过去获得的估计总包含形如 $\frac{1}{p-2}$ 或 $\frac{1}{2-p}$ 的指数，当 $p \rightarrow 2$ 时其发散。在本注记中，我们证明了弱解在完整范围 $\frac{2N}{N+2} < p < \infty$ 内的有界性，而无需分别考虑奇异与退化情形。随后，在稍小的范围 $\frac{2N}{N+1} < p < \infty$ 内，我们还证明了改进的有界性估计。