具次临界灵敏度的拟线性抛物-抛物 Keller-Segel 系统的有界性

我们考虑在光滑有界区域 $\Omega\subset\R^n$ ($n\ge 2$) 中，齐次 Neumann 边界条件下的拟线性抛物-抛物 Keller-Segel 系统 $$u_t=\nabla \cdot (D(u)\nabla u) - \nabla \cdot (S(u)\nabla v), \qquad x\in\Omega, \ t>0, v_t=\Delta v -v + u, x\in\Omega, \ t>0,$$ 证明了若对所有 $u>1$ 满足 $\frac{S(u)}{D(u)}\le cu^{\alpha}$，其中 $\alpha<\frac{2}{n}$ 且 $c>0$ 为某常数，并满足一些进一步的技术条件，则上述系统的经典解在时间上一致有界。根据第二作者近期的一个结果（{\em Math. Meth. Appl. Sci.} {\bf 33} (2010), 12-24），该有界性结果是最优的；该结果表明，若对 $u>1$ 有 $\frac{S(u)}{D(u)} \ge cu^\alpha$，其中 $c>0$ 且某 $\alpha>\frac{2}{n}$，则对每个质量 $M>0$ 都存在满足 $\io u_0=M$ 的爆破解。此外，本文还通过改进 Moser-Alikakos 迭代技巧（Alikakos, {\em Comm. PDE} {\bf 4} (1979), 827-868），证明了拟线性非一致抛物方程的一个一般有界性结果。