高维时-空分数阶抛物-椭圆Keller-Segel模型的有界性与指数稳定

对于时-空分数阶退化Keller-Segel方程 \begin{equation*} \begin{cases} \partial _{t}^{\beta }u=-(-\Delta )^{\frac{\alpha}{2}}(\rho (v)u),& t>0\\ (-\Delta )^{\frac{\alpha}{2}} v+v=u,& t>0 \end{cases} \end{equation*} $x\in\Omega, \Omega \subset \mathbb{R}^{n}, \beta\in (0,1),\alpha\in (1,2)$，我们考虑$n\geq 3$时寻找经典解的时间无关上界使得对$\theta>0,C>0$ \begin{equation*} \left \| u(\cdot ,t)-\overline{u_{0}} \right \|_{L^{\infty }(\Omega )}+\left \| v(\cdot ,t)-\overline{u_{0}} \right \|_{W^{1,\infty }(\Omega )}\leq Ce^{(-\theta)^{1/\beta}t}, \end{equation*} 其中$\overline{u_{0}}=\frac{1}{\left | \Omega \right |}\int _{\Omega }u_{0}dx$。我们在浓度时间无关上界的特例中，利用Alikakos-Moser迭代和分数阶微分不等式找到了此类解。在这些情况下，问题被化简为时-空分数阶抛物-椭圆方程，并采用Lyapunov泛函方法处理。我们构造中的一个关键要素是通过分数阶Duhamel型积分方程证明向常数稳态的指数稳定。