高维具有奇异敏感性与 logistic 源项的 Keller–Segel 系统的有界性与大时间行为

本文关注如下具有奇异敏感性与 logistic 源项的 Keller–Segel 系统 $$\left\{\begin{array}{ll} u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot(\frac{u}{v}\nabla v)+ au-\mu u^2,\quad x\in \Omega, t>0, \disp{ v_t=\Delta v- v+u},\quad x\in \Omega, t>0 \end{array}\right.\eqno(\star)$$ 在光滑有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N(N\geq1)$ 中，具有零通量边界条件，其中 $a>0,\mu>0$ 和 $\chi>0$ 为给定常数。若 $\chi$ 足够小，则对所有合理的正则初值，对应于 $(\star)$ 的初始边值问题存在全局经典解 $(u, v)$，其在 $\Omega\times(0,+\infty)$ 中{\bf 有界}。此外，若 $\mu$ 足够大，解 $(u, v)$ 当 $t\rightarrow\infty$ 时在 $L^\infty(\Omega)$ 范数下指数收敛于常数平稳解 $(\frac{a}{\mu }, \frac{a}{\mu })$。据我们所知，这一新结果是针对高维（$N\geq3$）情形下具有{\bf 奇异敏感性}与{\bf logistic 源项}的 Keller–Segel 系统的有界性与{\bf 渐近行为}的{\bf 首个}分析工作。