具有快速扩散和饱和敏感性的Keller-Segel-(Navier-)Stokes系统的尖锐全局有界性结果

我们研究了在光滑有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（其中 $N = 2,3$）中提出的Keller-Segel-(Navier-)Stokes系统： \begin{equation*} \begin{cases} n_t + u \cdot \nabla n = \Delta n - \nabla \cdot \big( n S(n)\nabla c \big), 2mm] u \cdot \nabla c = \Delta c - c + n, \[2mm] u_t + \kappa (u \cdot \nabla) u = \Delta u - \nabla P + n \nabla \phi, \[2mm] \nabla \cdot u = 0, \end{cases} \end{equation*} 其中 \(\kappa \in \left \{0,1 \right \} \)，给定的引力势 \(\phi \in W^{2, \infty}(\Omega)\)，以及趋化敏感性函数 \(S \in C^2([0,\infty))\)。在 \(n\) 和 \(c\) 的无通量边界条件以及 \(u\) 的狄利克雷边界条件下，我们证明，如果初始数据满足合适的正则性假设，则以下结果成立： \begin{itemize} \item 如果 \(N = 2\)，\(\kappa = 1\)，且敏感性函数满足 \(\lim_{\xi \to \infty} S(\xi) = 0\)，则Keller-Segel-Navier-Stokes系统存在一个全局经典解，该解在时间上保持一致有界。 \item 如果 \(N = 3\)，\(\kappa = 0\)，且 \(S\) 满足 \[ |S(\xi)| \le K_S (\xi + 1)^{-\alpha} \quad \text{对于所有 } \xi \ge 0, 其中常数 $K_S > 0$ 且 $\alpha > \frac{1}{3}$，则Keller-Segel-Stokes系统存在一个全局有界经典解。 \end{itemize} 我们的结果是最优的，因为众所周知，在没有流体效应的情况下，当 $S \equiv \mathrm{const}$ 时在二维中，或当 $\alpha < \tfrac{1}{3}$ 时在三维中，可能会发生爆破。