具有敏感性的二维 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统中全局经典有界解的最优结果

本文处理了一个涉及具饱和张量值敏感性的耦合趋化-Navier-Stokes 系统的边值问题 $$\left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot(nS(x,n,c)\nabla c),\quad x\in \Omega, t>0, c_t+u\cdot\nabla c=\Delta c-c+n,\quad x\in \Omega, t>0,\\ u_t+\kappa(u \cdot \nabla)u+\nabla P=\Delta u+n\nabla \phi,\quad x\in \Omega, t>0,\\ \nabla\cdot u=0,\quad x\in \Omega, t>0, \end{array}\right.$$ 该系统描述了当趋化剂的演化主要由细胞产生所主导时的趋化-流体相互作用，其中 $\kappa\in \mathbb{R},\phi\in W^{2,\infty}(\Omega)$ 且 $S$ 是给定的取值于 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 的函数，满足 $$|S(x,n,c)| \leq C_S (1 + n)^{-\alpha}$$ 其中 $C _S > 0$ 且 $\alpha \geq 0.$ 如果 $\alpha>0$ 且 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$ 是具有光滑边界的**有界**区域，则对于所有适当正则的初始数据，$(KSNF)$ 相应的初边值问题在 $\Omega\times(0,\infty)$ 上存在有界的全局经典解。这推广了 Wang-Winkler-Xiang (Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. XVIII, (2018), 2036--2145) 近期的一个结果，该结果断言在 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$ 是具有光滑边界的有界**凸区域**这一约束下有界解的全局存在性。此外，我们将改进 Wang-Xiang (J. Diff. Eqns., 259(2015), 7578--7609) 的结果，他们在 $\mathbf{\kappa\equiv0}$ 且 $\alpha>0$ 的情况下证明了全局有界的可能性。与相应的无流体系统的结果相比，获得了关于参数 $\alpha$ 的**全局存在性**和**有界性**的**最优条件**。