具有旋转通量分量并与完整 Navier-Stokes 方程耦合的二维趋化系统之整体保质量解

我们研究趋化-Navier-Stokes 系统 $$\left\{\; \begin{aligned} n_t + u\cdot\nabla n &=\Delta n - \nabla\cdot (nS(x,n,c)\nabla c), &&x\in\Omega, t > 0, \\ c_t + u\cdot\nabla c &=\Delta c - n f(c), && x\in \Omega, t > 0, \\ u_t + (u\cdot\nabla) u &=\Delta u + \nabla P + n \nabla \phi, \;\;\;\; \nabla\cdot u = 0, && x\in\Omega, t > 0 \end{aligned}\right.\tag{$\star$}$$ 其中对 $n$、$c$ 具有无通量边界条件，域为具有光滑边界的有界凸域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^2$，该模型源于近期生物学中关于悬浮于静止水滴中的好氧细菌的建模方法。我们进一步不假设趋化敏感性 $S$ 如通常那样为标量，而是可取 $\mathbb{R}^{2\times 2}$ 中的值，从而允许对边界附近细菌行为进行更复杂的建模。这被视为实验中观察到的结构形成的一个潜在来源。尽管由于便捷的能量型不等式，对标量趋化敏感性 $S$ 已有诸多结果，且对某些非标量情形仅在 Stokes 流体方程（或其他强限制）下显著简化了 ($\star$) 中第三个方程的分析，但我们在系统限制极少的情况下考虑完整的耦合情形，这使我们几乎无法依赖先验估计。尽管如此，我们仍利用 Trudinger-Moser 型不等式获得了充分估计，将 Winkler 近期关于非标量 $S$ 的 Stokes 情形存在性结果推广至完整 Navier-Stokes 情形。具体而言，在平面凸域中，对充分光滑的参数函数 $S$、$f$ 和 $\phi$，仅在 $S$ 适当有界、$f$ 非负且 $f(0) = 0$ 的较弱假设下，我们为 ($\star$) 构造了类似的全局保质量广义解。