扩散或 logistic 型降解在何种程度上影响趋化-Navier--Stokes 系统全局弱解的存在性

本文考虑带有非线性扩散和 logistic 型降解项的趋化-Navier--Stokes 系统 \begin{align*} \begin{cases} n_t + u\cdot\nabla n = \nabla \cdot(D(n)\nabla n) - \nabla\cdot(n \chi(c) \nabla c) + \kappa n - \mu n^\alpha, & x\in \Omega,\ t>0, \\ c_t + u\cdot\nabla c = \Delta c - nf(c), & x \in \Omega,\ t>0, \\ u_t + (u\cdot\nabla)u = \Delta u + \nabla P + n\nabla\Phi + g, \ \nabla\cdot u = 0, & x \in \Omega,\ t>0, \end{cases} \end{align*} 其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 是有界光滑区域; $D \ge 0$ 是给定的光滑函数, 使得对所有 $s\ge 0$ 有 $D_1 s^{m-1} \le D(s) \le D_2 s^{m-1}$, 其中某些 $D_2 \ge D_1 > 0$ 且某些 $m > 0$; $\chi,f$ 是满足某些条件的给定函数; $\kappa \in \mathbb{R},\mu \ge0,\alpha>1$ 为常数。本文证明了在上述系统存在全局弱解的条件为 \begin{align*} m >\frac{2}{3},\quad \mu \ge 0 \quad \mbox{且}\quad \alpha >1 \end{align*} 成立, 或 \begin{align*} m> 0, \quad \mu>0 \quad \mbox{且} \quad \alpha > \frac{4}{3} \end{align*} 成立。该结果表明, 即便另一种效应‘弱’, ‘强’扩散效应或‘强’ logistic 阻尼仍可导出全局弱解的存在性, 并且可涵盖先前的工作。