具有任意超线性降解项的趋化- Navier-Stokes 系统的广义解

在这项工作中，我们在二维情形下研究如下趋化-Navier-Stokes 模型，\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{llll} \displaystyle n_{t}+\mathbf{u}\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla \cdot(n\nabla c)+f(n), &&x\in\Omega,\,t>0,\\ \displaystyle c_{t}+\mathbf{u}\cdot\nabla c=\Delta c - c+ n, &&x\in\Omega,\,t>0,\\ \displaystyle \mathbf{u}_{t}+\kappa(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\Delta \mathbf{u} +\nabla P+ n\nabla\phi, &&x\in\Omega,\,t>0,\\ \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=0,&&x\in\Omega,\,t>0.\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} 受 Winkler 近期工作的启发，我们旨在研究该模型的广义可解性，而不对 logistic 源函数 $f$ 施加临界超线性指数限制。具体而言，本文证明：若 $f\in C^1([0,\infty))$ 满足 $f(0)\ge0$ 且对 $n\ge0$ 有 $f(n)\le rn-\mu n^{\gamma}$（其中任意 $\gamma>1$），则存在可积函数三元组 $(n,c,\mathbf{u})$ 以广义意义全局求解该方程组。我们的结果表明，在上述关于 $f$ 的温和假设下，模型中持续的 Dirac 型奇点可被排除。在给出系统的存在性结果后，我们还证明只要 $\mu/r$ 足够大，广义解便呈现出最终光滑性。