具异质logistic源的Keller-Segel系统何时容许广义解?

我们在光滑有界域$\Omega \subset \mathbb R^n$,$n \geq 2$中,针对$\lambda, \mu$与$\kappa$的某些选取,为趋化系统\begin{align*} \begin{cases} u_t = \Delta u - \nabla \cdot (u \nabla v) + \lambda(x) u - \mu(x) u^\kappa,\\ v_t = \Delta v - v + u \end{cases} \end{align*}构造了全局广义解。其中,除其他外,选取$\mu(x) = |x|^\alpha$且$\alpha < 2$、$\kappa = 2$,以及$\mu \equiv \mu_1 > 0$且$\kappa > \min\{\frac{2n-2}{n}, \frac{2n+4}{n+4}\}$都是可容许的(两种情形均对任意充分光滑的$\lambda$成立)。前者情形总体上似乎是新颖的;在二维与三维情形下,后者改进了Winkler近期的结果(Adv. Nonlinear Anal. 9 (2019), no. 1, 526-566),其中施加了条件$\kappa > \frac{2n+4}{n+4}$。特别地,对于$n = 2$,我们的结果表明取任意$\kappa > 1$即足以排除塌缩为持续Dirac分布的可能性。