具有 logistic 型阻尼的 Keller-Segel 系统爆破结果中趋近最优性

已知在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb R^n$, $n \ge 1$ 中,趋化系统 \begin{align}\label{prob:star}\tag{$\star$} \begin{cases} u_t = \Delta u - \nabla \cdot (u \nabla v) + \lambda u - \mu u^\kappa, \\ 0 = \Delta v - \overline m(t) + u, \quad \overline m(t) = \frac1{|\Omega|} \int_\Omega u(\cdot, t) \end{cases} \end{align} 的 Neumann 初边值问题的非负解，若 $\lambda \geq 0$, $\mu > 0$ 且 $\kappa > 2$，则是全局存在的。在本文中，我们证明指数 $\kappa = 2$ 在四维及更高维情形下实际上是临界的。更确切地说，若 \begin{alignat*}{3} \qquad n &\geq 4, &&\quad \kappa \in (1, 2) \quad &&\text{且} \quad \mu > 0 \\ \text{或}\qquad n &\geq 5, &&\quad \kappa = 2 \quad &&\text{且} \quad \mu \in \left(0, \frac{n-4}{n}\right), \end{alignat*} 对于球体 $\Omega \subset \mathbb R^n$ 及参数 $\lambda \geq 0$, $m_0 > 0$，我们构造一个非负初始数据 $u_0 \in C^0(\overline \Omega)$ 满足 $\int_\Omega u_0 = m_0$，使得 \eqref{prob:star} 的相应解 $(u, v)$ 在有限时间内爆破。此外，在三维情形，我们得到当 $\kappa \in (1, \frac32)$（且 $\lambda \geq 0$, $\mu > 0$）时的有限时间爆破。作为我们分析的基石，对于某些初始数据，我们证明质量累积函数 $w(s, t) = \int_0^{\sqrt[n]{s}} \rho^{n-1} u(\rho, t) \,\mathrm d\rho$ 满足估计 $w_s \le \frac{w}{s}$。利用这一信息，我们随后通过证明对于适当选取的初始数据、$s_0$ 和 $\gamma$，函数 $\phi(t) = \int_0^{s_0} s^{-\gamma} (s_0 - s) w(s, t)$ 不能全局存在，从而得到 $u$ 的有限时间爆破。