具有环境依赖 logistic 源的二维 Keller--Segel 系统的有限时间爆破

在球 $\Omega = B_R(0) \subset \mathbb R^2$、$R \gt 0$ 中研究趋化系统 \begin{align} \label{prob:abstract} \tag{$\star$} \begin{cases} u_t = \Delta u - \nabla \cdot (u \nabla v) + \kappa(|x|) u - \mu(|x|) u^p, \\ 0 = \Delta v - \frac{m(t)}{|\Omega|} + u, \quad m(t) := \int_\Omega u(\cdot, t) \end{cases} \end{align} 的 Neumann 初边值问题，其中 $p \ge 1$ 且 $\kappa, \mu: [0, R] \rightarrow [0, \infty)$ 为充分光滑的函数。我们证明：若 $\mu', -\kappa' \ge 0$ 且对所有 $s \in [0, R]$ 及某个 $\mu_1 \gt 0$ 有 $\mu(s) \le \mu_1 s^{2p-2}$，则对任意 $m_0 \gt 8 \pi$，存在 $u_0 \in C^0(\overline \Omega)$ 满足 $\int_\Omega u_0 = m_0$，且以 $u_0$ 为初值的问题 \eqref{prob:abstract} 的解 $(u, v)$ 在有限时间内爆破。若进一步有 $\kappa \equiv 0$，则所有初质量小于 $8 \pi$ 的解均全局存在，呈现出某种临界质量现象。另一方面，若 $p \gt 2$，我们证明对所有满足对任意 $s \in [0, R]$ 及某个 $\mu_1, \varepsilon \gt 0$ 有 $\mu(s) \ge \mu_1 s^{p-2-\varepsilon}$ 的 $\mu$，系统 \eqref{prob:abstract} 对每个初值 $0 \le u_0 \in C^0(\overline \Omega)$ 均存在全局经典解。