平面 Keller-Segel 系统中爆破点附近的精细时间渐近性
偏微分方程分析
2026-04-16 v1
摘要
对于在平面区域 Ω 中具有 Neumann 边界条件的 Keller-Segel 系统，经典解在有限时间 T 爆破的存在性早已被确立。事实上，已经证明对于每个爆破点 x，即使 u 的全局质量总是守恒的，量 ∫_{B_R(x)∩Ω} u(·,t)ln(u(·, t)) 在所有 R > 0 下随着 t↗T 是无界的。本手稿通过断言存在 δ_0=δ_0(Ω)>0，使得任何在时间 T∈(0,∞) 爆破的 (⋆) 的 Neumann 问题的解满足：在每个爆破点 x 处，对所有 R > 0 有 limsup_{t↗T} (1/ln(T/(T-t))) ∫_{B_R(x)∩Ω} u(·, t)ln(u(·, t)) ≥ δ_0，从而为这种局部化的 LlogL 表达式的行为提供了一些定量信息。这证实了在开创性工作 [16] 中构建的径向坍缩解的特例中所见的爆破机制的某种普适性，尤其是在对称性领域之外；除此之外，结合 (⋆⋆) 对 u 的类似局部化的 L^p 范数（p∈(1,∞]）的相应渐近性的一个推论，这为已知的关于爆破点非退化性的结果（该结果集中于此处 p=∞ 的选择）提供了一些扩展。
引用
@article{arxiv.2604.13300,
title = {Refined temporal asymptotics near blow-up points in the planar Keller-Segel system},
author = {Frederic Heihoff and Michael Winkler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.13300},
year = {2026}
}