一类具有空间异质扩散灵敏度的趋化系统中解的有限时间爆破

本文研究一类扩散灵敏度依赖于空间位置的抛物-椭圆型Keller-Segel系统，其形式为 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t} = \bigtriangledown\cdot(|x|^{\beta} \bigtriangledown u)-\bigtriangledown\cdot(u^{\alpha} \bigtriangledown v), \\ 0=\bigtriangleup v-\mu +u, \qquad \mu:=\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}udx,\end{array}\right. \end{equation} 在球 $\Omega=B_{R}(0)\subset \mathbb{R}^{n}$ 中满足齐次Neumann边界条件，其中 $\alpha \ge 1$, $\beta>0$ 且 $n\ge 2$。\n\n我们证明了，对于任意非常数非负径向初值 $u_{0}\in C^{\theta}(\overline{\Omega})$（其中 $\theta \in (0,1)$），系统(0.1)在 $(\Omega \setminus \{ 0 \})\times (0,T)$ 上存在一个径向对称的古典解，其中 $T>0$；此外，若初值 $u_{0}\in C^{1+\theta}(\overline{\Omega})$（对某个 $\theta \in (0,1)$）满足一定的相容性条件且径向递减，则该解在 $(\Omega \setminus \{ 0 \})\times (0,T^{*})$ 上有界且唯一，其中 $T^{*}<T$。\n 最后，我们发现，当该抛物-椭圆问题(0.1)对应的初始质量足够集中时，解会在有限时间内爆破。