具有通量限制的趋化系统的爆破现象

在本文中，我们考虑如下抛物-椭圆交叉扩散系统的非负解 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \begin{aligned} &u_t = \Delta u - \nabla(u f(|\nabla v|^2 )\nabla v), \[6pt] &0= \Delta v -\mu + u , \quad \int_{\Omega}v =0, \ \ \mu := \frac 1 {|\Omega|} \int_{\Omega} u dx, \[6pt] &u(x,0)= u_0(x), \end{aligned} \end{array} \right. \end{equation*} 在 $\Omega \times (0,\infty)$ 中，$\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的球，$N\geq 3$，在齐次 Neumann 边界条件下，且 $f(\xi) = (1+ \xi)^{-\alpha}$，$0<\alpha < \frac{N-2}{2(N-1)}$，该系统描述了依赖于梯度的交叉扩散通量限制。在对 $f$ 和初始数据的条件下，我们证明了一个在有限时间内于 $L^\infty$ 范数下爆破的解，也在某个 $p>1$ 的 $L^p$ 范数下爆破。此外，推导了爆破时间的下界。\vskip.2truecm \noindent{\bf AMS Subject Classification }{Primary: 35B44; Secondary: 35Q92, 92C17.} \vskip.2truecm \noindent{\bf Key Words:} finite-time blow-up; chemotaxis.