具退化扩散的两物种趋化-竞争模型的有限时间爆破

本文研究具退化扩散的两物种趋化-竞争模型，\begin{cases} u_t = \Delta u^{m_1} - \chi_1 \nabla\cdot(u\nabla w) + \mu_1 u (1-u-a_1v), &x\in\Omega,\ t>0,\\% v_t = \Delta v^{m_2} - \chi_2 \nabla\cdot(v\nabla w) + \mu_2 v (1-a_2u-v), &x\in\Omega,\ t>0,\\% 0 = \Delta w +u+v-\overline{M}(t), &x\in\Omega,\ t>0, \end{cases} 其中 $\int_\Omega w(x,t)\,dx=0$，$t>0$，$\Omega := B_R(0) \subset \mathbb{R}^n$ $(n\ge5)$ 是某个 $R>0$ 的球；$m_1,m_2>1$，$\chi_1,\chi_2,\mu_1,\mu_2,a_1,a_2>0$；$\overline{M}(t)$ 是 $u+v$ 的空间平均。本文旨在证明有限时间爆破，即存在 $\widetilde{T}_{\rm max}\in(0,\infty)$ 使得对上述模型在满足导致爆破的矩不等式的弱解概念内，$$\limsup_{t \nearrow \widetilde{T}_{\rm max}} (\|u(t)\|_{L^\infty(\Omega)} + \|v(t)\|_{L^\infty(\Omega)})=\infty$$ 成立。为此，我们还给出了将上述模型中的项 $\Delta u^{m_1}$、$\Delta v^{m_2}$ 替换为非退化扩散项 $\Delta (u+\delta)^{m_1}$、$\Delta (v+\delta)^{m_2}$（其中 $\delta\in(0,1]$）时该模型的有限时间爆破结果。