高维 repulsive chemotaxis-consumption 系统中的全局有界性与 blow-up

本文研究了 repulsive chemotaxis-consumption 模型 \begin{align*} \partial_t u &= \nabla \cdot (D(u) \nabla u) + \nabla \cdot (u \nabla v), \\ 0 &= \Delta v - uv \end{align*} 在维数为 $n$ 的球体内，$n \ge 3$，其中扩散系数 $D$ 是函数 $0\le\xi\mapsto(1+\xi)^{m-1}$ 的合适延伸，其中 $m>0$。在边界条件 \begin{equation*} \nu \cdot (D(u) \nabla u + u \nabla v) = 0 \quad\text{ 和 }\quad v = M>0,\end{equation*} 下，我们首先证明对于 $m > 1$，或 $m = 1$ 且 $0 < M < 2/(n-2)$，该系统存在全局定义的经典解，对任何足够光滑的径向初始数据其在时间上均有一致有界性。该结果推广到 $0<m<1$ 的情况，当 $M$ 选择为足够小（具体取决于初始条件）时。相反，证明对于 $0 < m < \frac{2}{n}$，当 $M$ 足够大时，系统 exhibits blow-up 行为。