含非线性/多孔介质扩散、消耗与Logistic源的化学趋化模型：I. 全局可解性与有界性

本系列论文关注如下具有Logistic源和化学物质消耗的两层 parabolic-parabolic 化学趋化系统： \begin{equation*} \begin{cases} u_t = m\nabla\cdot \left((\eps+u)^{m-1}\nabla u\right) - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + u(a - b u), & \text{ in } (0,\infty)\times\mathbb{R}^N, \ v_t = \Delta v - uv, & \text{ in } (0,\infty)\times\mathbb{R}^N, \end{cases} \end{equation*} 其中 $m > 1$ 且 $\eps \geq 0$。本文聚焦弱解的全局可解性与有界性。对于一般有界初始数据（可为非可积），我们证明存在全局弱解且满足随时间均匀有界。证明方法依赖通过新型连续性型 argument 推导时间均匀的局部 $L^p$ 估计，并利用 Moser 迭代法获得 $L^\infty$ 估计；所有估计对 $\eps\to0$ 均均匀。第二篇将研究弱解的正则性与唯一性。