具(广义) logistic 源的抛物–常微分–抛物趋化–趋触模型的解这个有界性

本文研究如下具(广义) logistic 源的趋化–趋触系统 $$\left\{\begin{array}{ll} u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot(u\nabla v)- \xi\nabla\cdot(u\nabla w)+u(a-\mu u^{r-1}-w), \displaystyle{v_t=\Delta v- v +u},\quad \\ \displaystyle{w_t=- vw},\quad\\ \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial \nu}=\frac{\partial v}{\partial \nu}=\frac{\partial w}{\partial \nu}=0},\quad x\in \partial\Omega, t>0,\\ \displaystyle{u(x,0)=u_0(x)},v(x,0)=v_0(x),w(x,0)=w_0(x),\quad x\in \Omega, \end{array}\right.\eqno(0.1)$$ 在光滑有界域 $\mathbb{R}^N(N\geq1)$ 中具齐次 Neumann 边界条件,参数为 $r>1$,参数 $a\in \mathbb{R}, \mu>0, \chi>0$。结果表明当 $r>2$,或 \begin{equation*} \mu>\mu^{*}=\begin{array}{ll} \frac{(N-2)_{+}}{N}(\chi+C_{\beta}) C^{\frac{1}{\frac{N}{2}+1}}_{\frac{N}{2}+1},~~~\mbox{if}~~r=2, \end{array} \end{equation*} 时,所考虑的问题存在有界的整体经典解,其中 $C^{\frac{1}{\frac{N}{2}+1}}_{\frac{N}{2}+1}$ 是与极大 Sobolev 正则性对应的正常数。此处 $C_{\beta}$ 是依赖于 $\xi$、$\|u_0\|_{C(\bar{\Omega})}$、$\|v_0\|_{W^{1,\infty}(\Omega)}$ 和 $\|w_0\|_{L^\infty(\Omega)}$ 的正常数。该结果改进或推广了若干作者先前的结果。