具有时空相关 Logistic 源的有界域上抛物-椭圆型趋化模型的动力学

本文考虑以下趋化系统的动力学：$$\begin{cases} u_t=\Delta u-\chi\nabla (u\cdot \nabla v)+u\left(a_0(t,x)-a_1(t,x)u-a_2(t,x)\int_{\Omega}u\right),\quad x\in \Omega\cr 0=\Delta v+ u-v,\quad x\in \Omega \quad \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,\quad x\in\partial\Omega, \end{cases}$$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n(n\geq 1)$ 是具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界域，且 $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) 在 $t\in\mathbb{R}$ 上局部 Hölder 连续（关于 $x\in\bar{\Omega}$ 一致）并在 $x\in\bar{\Omega}$ 上连续。我们首先证明了对于各种初始函数 $u_0(x)$，满足 $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ 的经典解 $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ 的局部存在性和唯一性。接下来，在对系数 $a_1(t,x)$、$a_2(t,x)$、$\chi$ 和 $n$ 的一些条件下，我们证明了给定非负初始函数 $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ 的经典解 $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ 的全局存在性和有界性。然后，在与全局存在性相同的条件下，我们证明该系统具有一个整体正经典解 $(u^*(x,t),v^*(x,t))$。此外，如果 $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) 关于 $t$ 是周期为 $T$ 的周期函数或与 $t$ 无关，则系统具有周期为 $T$ 的时间周期正解 $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ 或稳态正解 $(u^*(x),v^*(x))$。如果 $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) 与 $x$ 无关，则系统具有空间齐次的整体正解 $(u^*(t),v^*(t))$。最后，在一些进一步的假设下，我们证明系统具有一个全局稳定的唯一整体正解 $(u^*(x,t),v^*(x,t))$。此外，如果 $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) 关于 $t$ 是周期的或概周期的，则 $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ 关于 $t$ 也是周期的或概周期的。