具有奇异敏感性的双物种趋化竞争系统：全局存在性、有界性与持久性

本文研究如下具有奇异敏感性和 Lotka-Volterra 竞争动力学的抛物-抛物-椭圆趋化系统，\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi_1 \nabla\cdot (\frac{u}{w} \nabla w)+u(a_1-b_1u-c_1v) ,\quad &x\in \Omega\cr v_t=\Delta v-\chi_2 \nabla\cdot (\frac{v}{w} \nabla w)+v(a_2-b_2v-c_2u),\quad &x\in \Omega\cr 0=\Delta w-\mu w +\nu u+ \lambda v,\quad &x\in \Omega \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial w}{\partial n}=0,\quad &x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是有界光滑区域，$\chi_i$、$a_i$、$b_i$、$c_i$（$i=1,2$）以及 $\mu,\, \nu, \, \lambda$ 为正常数。这是关于具有奇异敏感性和 Lotka-Volterra 竞争动力学的双物种趋化竞争系统的首项工作。特别地，我们证明对任意给定的非负初值 $u_0,v_0\in C^0(\bar\Omega)$ 且 $u_0+v_0\not \equiv 0$，当 $\min\{a_1,a_2\}$ 相对于 $\chi_1,\chi_2$ 较大且 $u_0+v_0$ 不小时，(0.1) 存在唯一的全局定义经典解 $(u(t,x;u_0,v_0),v(t,x;u_0,v_0),w(t,x;u_0,v_0))$，满足 $u(0,x;u_0,v_0)=u_0(x)$ 与 $v(0,x;u_0,v_0)=v_0(x)$。此外，在相同条件下，我们证明 \begin{equation*} \limsup_{t\to\infty} \|u(t,\cdot;u_0,v_0)+v(t,\cdot;u_0,v_0)\|_\infty\le M^*, \end{equation*} 与 \begin{equation*} \liminf_{t\to\infty} \inf_{x\in\Omega}(u(t,x,u_0,v_0)+v(t,x;u_0,v_0))\ge m^*, \end{equation*} 对独立于 $u_0,v_0$ 的某正常数 $M^*,m^*$ 成立，后者被称为组合逐点持久性。