具有奇异敏感性和 Lotka-Volterra 竞争动力学的双物种趋化系统中的稳定性

本文关注于以下具有奇异敏感性和 Lotka-Volterra 竞争动力学的抛物线-抛物线-椭圆型趋化系统中的稳定性问题，\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi_1 \nabla\cdot (\frac{u}{w} \nabla w)+u(a_1-b_1u-c_1v) ,\quad &x\in \Omega\cr v_t=\Delta v-\chi_2 \nabla\cdot (\frac{v}{w} \nabla w)+v(a_2-b_2v-c_2u),\quad &x\in \Omega\cr 0=\Delta w-\mu w +\nu u+ \lambda v,\quad &x\in \Omega \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial w}{\partial n}=0,\quad &x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是有界光滑区域，且 $\chi_i,a_i, b_i, c_i$ ($i=1,2$) 和 $\mu,\, \nu, \, \lambda$ 为正常数。在文献 [25] 中，我们证明了对于任意给定的非负初始数据 $u_0,v_0\in C^0(\bar\Omega)$ 且 $u_0+v_0\not \equiv 0$，若 $\min\{a_1,a_2\}$ 相对于 $\chi_1,\chi_2$ 足够大，且在 $(\chi_1-\chi_2)^2\le \max\{4\chi_1,4\chi_2\}$ 的情况下 $u_0+v_0$ 不小，以及在 $(\chi_1-\chi_2)^2>\max\{4\chi_1,4\chi_2\}$ 的情况下 $u_0+v_0$ 既不小也不大时，(0.1) 存在唯一的全局经典解。在本文中，我们证明了 (0.1) 存在唯一的正常数解 $(u^*,v^*,w^*)$，其中 $$u^*=\frac{a_1b_2-c_1a_2}{b_1b_2-c_1c_2},\quad v^*=\frac{b_1a_2-a_1c_2}{b_1b_2-c_1c_2}, \quad w^*=\frac{\nu}{\mu}u^*+\frac{\lambda}{\mu} v^*.$$ 我们获得了关于 $\chi_1,\chi_2$ 的一些显式条件，以确保正常数解 $(u^*,v^*,w^*)$ 是全局稳定的，即对于任意给定的非负初始数据 $u_0,v_0\in C^0(\bar\Omega)$ 且 $u_0\not \equiv 0$ 和 $v_0\not \equiv 0$，有 $$\lim_{t\to\infty}\Big(\|u(t,\cdot;u_0,v_0)-u^*\|_\infty +\|v(t,\cdot;u_0,v_0)-v^*\|_\infty+\|w(t,\cdot;u_0,v_0)-w^*\|_\infty\Big)=0.$$