$\mathbb{R}^{N}$ 上具有 logistic 源的抛物-抛物趋化系统的持久性与收敛性

在本文中，我们考虑 $\mathbb{R}^{N}$ 上具有以下 logistic 源的抛物-抛物趋化系统，\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot ( u\nabla v) + u(a-bu),\quad x\in\mathbb{R}^{N}\,\,\,\, t>0\cr {v_t}=\Delta v -\lambda v+\mu u,\quad x\in \mathbb{R}^{N}\,\,\,\, t>0 \end{cases}(1) \end{equation} 其中 $\chi, \ a,\ b,\ \lambda,\ \mu$ 为正常数，$N$ 为正整数。我们研究 (1) 中的持久性与收敛性。为此，我们首先在假设 $b>\frac{N\chi\mu}{4}$ 下，证明了对每个非负、有界且一致连续的函数 $u_0(x)$，以及每个非负、有界、一致连续且可微的函数 $v_0(x)$，(1) 具有唯一经典解 $(u(x,t;u_0, v_0),v(x,t;u_0, v_0))$ 的全局存在性，且满足 $u(x,0;u_0, v_0)=u_0(x)$ 和 $v(x,0;u_0, v_0)=v_0(x)$。接下来，在同样假设 $b>\frac{N\chi\mu}{4}$ 下，我们证明持久性现象发生，即任何具有严格正初始函数 $u_0$ 的全局有界正经典解，当时间充分大时，被一个独立于 $(u_0, v_0)$ 的正常数从下方界定。最后，我们讨论具有严格正初始函数 $u_0$ 的全局经典解的渐近行为。我们证明存在 $K=K(a,\lambda,N)>\frac{N}{4}$，使得若 $b>K \chi\mu$ 且 $\lambda\geq \frac{a}{2}$，则对每个严格正初始函数 $u_0(\cdot)$，有 $$\lim_{t\to\infty}\big[\|u(x,t;u_0, v_0)-\frac{a}{b}\|_{\infty}+\|v(x,t;u_0, v_0)-\frac{\mu}{\lambda}\frac{a}{b}\|_{\infty}\big]=0.$$