具有 logistic 源的完全抛物型吸引-排斥趋化系统的行波解

本文研究趋化系统 \begin{equation} \begin{cases} u_{t}=\Delta u -\chi_1\nabla( u\nabla v_1)+\chi_2 \nabla(u\nabla v_2 )+ u(a -b u), \qquad \ x\in\mathbb{R} \\ \tau\partial_tv_1=(\Delta- \lambda_1 I)v_1+ \mu_1 u, \qquad \ x\in\mathbb{R}, \\ \tau\partial v_2=(\Delta- \lambda_2 I)v_2+ \mu_2 u, \qquad \ \ x\in\mathbb{R}, \end{cases} (0.1) \end{equation} 的行波解，其中 $\tau>0,\chi_{i}> 0,\lambda_i> 0,\ \mu_i>0$（$i=1,2$）且 $\ a>0,\ b> 0$ 为常数，$N$ 为正整数。在参数的某些适当条件下，我们证明存在两个正常数 $0<c^{*}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)<c^{**}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)$ 使得对每个 $c^{*}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)\leq c<c^{**}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)$，$(0.1)$ 有一个连接 $(\frac{a}{b},\frac{a\mu_1}{b\lambda_1},\frac{a\mu_2}{b\lambda_2})$ 与 $(0,0,0)$ 的行波解 $(u,v_1,v_2)(x,t)=(U,V_1,V_2)(x-ct)$ 满足 $$\lim_{z\to \infty}\frac{U(z)}{e^{-\mu z}}=1,$$ 其中 $\mu\in (0,\sqrt a)$ 使得 $c=c_\mu:=\mu+\frac{a}{\mu}$。此外，$$\lim_{(\chi_1,\chi_2)\to (0^+,0^+))}c^{**}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)=\infty$$ 且 $$\lim_{(\chi_1,\chi_2)\to (0^+,0^+))}c^{*}(\tau,\chi_1,\mu_1,\lambda_1,\chi_2,\mu_2,\lambda_2)= c_{\tilde{\mu}^*},$$ 其中 $\tilde{\mu}^*={\min\{\sqrt{a}, \sqrt{\frac{\lambda_1+\tau a}{(1-\tau)_{+}}},\sqrt{\frac{\lambda_2+\tau a}{(1-\tau)_{+}}}\}}$。我们还证明 $(0.1)$ 不存在连接 $(\frac{a}{b},\frac{a\mu_1}{b\lambda_1},\frac{a\mu_2}{b\lambda_2})$ 与 $(0,0,0)$ 且速度 $c<2\sqrt{a}$ 的行波解。