具 logistic 源的全抛物 Keller-Segel 趋化系统上行波解

本文研究如下具 logistic 源的全抛物 Keller-Segel 趋化系统的行波解,\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta u -\chi\nabla\cdot(u\nabla v)+u(a-bu),\quad x\in\mathbb{R}^N \cr \tau v_t=\Delta v-\lambda v +\mu u,\quad x\in \mathbb{R}^N, \end{cases}(1) \end{equation} 其中 $\chi, \mu,\lambda,a,$ 和 $b$ 为正数,且 $\tau\ge 0$。特别地,证明了若 $b>2\chi\mu$ 且 $\tau \geq \frac{1}{2}(1-\frac{\lambda}{a})_{+} ,$ 则对任意 $c\ge 2\sqrt{a}$,(1) 存在连接两个常数稳态 $(0,0)$ 与 $(\frac{a}{b},\frac{\mu}{\lambda}\frac{a}{b})$ 的行波解 $(u,v)(t,x)=(U^{\tau,c}(x\cdot\xi-ct),V^{\tau,c}(x\cdot\xi-ct))$ ($\forall\, \xi\in\mathbb{R}^N$),且不存在速度 $c$ 小于 $2\sqrt{a}$ 的此类解,这显著改进了 \cite{SaSh3} 中建立的结果,并表明(1)具有最小波速 $c_0^*=2\sqrt a$,其独立于趋化作用。