关于离析/吸引型化学趋化模型中旅行波的存在性、唯一性、稳定性与单调性

本文致力于研究以下带逻辑类型源的两性离析-吸引型化学趋化系统的旅行波解：\begin{equation}\label{E:main-abstract-eq}\tag{CM} \begin{cases} u_t=u_{xx}-\chi(u^m v_x)_x +u(1-u^\alpha),\quad &x\in\mathbb{R}\cr 0=v_{xx}-v+u^\gamma,\quad&x\in\mathbb{R}, \end{cases} \end{equation}其中 $m,\alpha,\gamma\ge 1$，$\chi\in\mathbb{R}$。系统 (CM) 可用于描述由自身产生的化学物质影响的生物种演化。 在此语境下，函数 $u$ 表示生物种的种群密度，$v$ 表示化学剂的浓度。连接常数解 $(1,1)$ 和 $(0,0)$ 的旅行波解是重要类型的解， 它表征了 (CM) 中的前沿传播现象。 已有文献对 $m=\alpha=\gamma=1$ 时的此类旅行波解进行了研究。然而，文献中关于 (CM) 旅行波解的唯一性、稳定性和单调性研究极少，且也无关于 $m,\alpha,\gamma\ge 1$ 时连接 $(1,1)$ 和 $(0,0)$ 的旅行波解是否存在的研究。在本文中，我们证明当 $\chi\le 0$ 时，速度 $c$ 大于某个数 $c^*_{\chi,m,\gamma}$ 或当 $0<\chi<1/2$ 时，速度 $c>2$ 时，(CM) 连接 $(1,1)$ 和 $(0,0)$ 的旅行波解存在。我们证明当 $\chi\le 0$ 时，旅行波解是单调的。我们还证明当速度 $c$ 大于某个数 $c^{**}_{\chi,m,\alpha, \gamma}(\ge c^*_{\chi,m,\gamma})$ 时，(CM) 连接 $(1,1)$ 和 $(0,0)$ 的旅行波解的唯一性和稳定性。