广义 Burgers-Fisher 方程的行波解

本文对广义 Burgers-Fisher 方程 $$\partial_tu=u_{xx}+k(u^n)_x+u^p-u^q, \quad (x,t)\in\mathbb{R}\times(0,\infty),$$（其中 $n\geq2$，$p>q\geq1$ 且 $k>0$）形如 $u(x,t)=f(x+ct)$ 的行波解，按其速度 $c\in(-\infty,\infty)$ 及在 $\pm\infty$ 处的行为进行了分类。我们确立了任意速度 $c\in\mathbb{R}$ 的行波解的存在性与唯一性，并描述了它们在 $x\to\pm\infty$ 时的行为。特别地，我们证明了存在唯一的 $c^*\in(0,\infty)$，使得存在唯一以 $c^*$ 为速度的孤子 $f^*$，且满足 $$\lim\limits_{\xi\to-\infty}f^*(\xi)=\lim\limits_{\xi\to\infty}f^*(\xi)=0, \quad \xi=x+ct.$$ 此外，若 $n<p+q+1$ 则 $c^*<kn$，若 $n>p+q+1$ 则 $c^*>kn$。对于 $c<\min\{c^*,kn\}$，任何以速度 $c$ 行进的行波满足 $\lim\limits_{\xi\to-\infty}f(\xi)=0$ 且 $\lim\limits_{\xi\to\infty}f(\xi)=1$；而对于 $c>\max\{c^*,kn\}$，任何以速度 $c$ 行进的行波满足 $\lim\limits_{\xi\to-\infty}f(\xi)=1$ 且 $\lim\limits_{\xi\to\infty}f(\xi)=0$。特别地，对于任意速度 $c\in(0,c^*)$，存在以速度 $c$ 行进的行波解 $u$ 使得当 $t\to\infty$ 时 $u(x,t)\to1$，这与无对流情况 $k=0$ 形成对比。