关于 Boussinesq 系统行波解存在性的注记

我们获得了 Boussinesq 系统 $u_t+\eta_x+uu_x+c\eta_{xxx}=0,\eta_t+u_x+(\eta u)_x+au_{xxx}=0$ 在 $a,c<0$ 情形下的单参数行波解族 $$(u_{\mu}(x,t),\eta_{\mu}(x,t))_{\mu\geq \mu_0}=(\phi_{\mu}(x-\omega_{\mu} t),\psi_{\mu}(x-\omega_{\mu} t))_{\mu\geq \mu_0}$$，其波速 $\omega_{\mu}$ 非零且可任意接近于 $0$（当 $\mu\to+\infty$ 时 $\omega_{\mu}\xrightarrow[]{} 0$）。我们证明了此类行波的 $L^2$ 范数满足关于 $\mu$ 的一致估计 $\|\phi_{\mu}\|_2^2+\|\psi_{\mu}\|_2^2\leq C\sqrt{|a|+|c|}$，其中 $C$ 为正常数。此外，$\phi_{\mu}$ 和 $-\psi_{\mu}$ 是光滑、非负、径向递减的函数，并在无穷远处呈指数衰减。