广义 Boussinesq 方程孤立波的不稳定性

本文考虑如下广义 Boussinesq 方程 \begin{align*} \partial_{t}^2u-\partial_{x}^2u+\partial_{x}^2(\partial_{x}^2u+|u|^{p}u)=0,\qquad (t,x)\in\mathbb R\times \mathbb R, \end{align*} 其中 $0<p<\infty$。该方程具有行波解 $\phi_\omega(x-\omega t)$，频率 $\omega\in (-1,1)$ 且 $\phi_\omega$ 满足 \begin{align*} -\partial_{xx}{\phi}_{\omega}+(1-{\omega^2}){\phi}_{\omega}-{\phi}_{\omega}^{p+1}=0. \end{align*} Bona 与 Sachs（1988）证明了当 $0<p<4,$ $\frac p4<\omega^2<1$ 时行波 $\phi_\omega(x-\omega t)$ 是轨道稳定的。Liu（1993）在条件 $0<p<4,$ $\omega^2<\frac p4$ 或 $p\ge 4,$ $\omega^2<1$ 下证明了轨道不稳定性。本文中，我们证明了退化情形 $0<p<4,\omega^2=\frac p4$ 下的轨道不稳定性。