双重色散方程行波的不稳定性与稳定性性质

本文关注双重色散方程 $~u_{tt} -u_{xx}+a u_{xxxx}-bu_{xxtt} = - (|u|^{p-1}u)_{xx}~$ 的行波解的不稳定性和稳定性性质，其中 $~p>1$，$~a\geq b>0$。该方程的主要特征是存在两个色散源，由项 $u_{xxxx}$ 和 $u_{xxtt}$ 表征。我们获得了关于波速的显式条件（用 $a$、$b$ 和 $p$ 表示），以确保双重色散方程的行波解因爆破而强烈不稳定。在 Boussinesq 方程 ($b=0$) 的特殊情况下，我们的条件简化为文献中给出的条件。对于双重色散方程，我们还通过考虑标量函数的凸性来研究行波的轨道稳定性。我们提供了关于波速稳定区域随 $a$、$b$ 和 $p$ 变化的解析和数值结果，并明确陈述了行波处于轨道稳定状态的条件。